Once upon a time, Cinderella lived here..

Burg Polle, Niedersachsen – Germany

Based on German’s story published by the Brothers Grimm, Cinderella once lived here. The original name in German is Asschunputtle: The Little Cinder Girl and it became Cinderella when the fairytale was translated to French.

Cinderella! who’s the girl in this world who doesn’t want to go back to the past and meet the real Cinderella!?? I think, every girl wants it! umm..atleast, me..I want! 😀

I packed my bag and go. Alone. Solo. I am a Solo traveller.

Not that bad thou, I had sweet experiences.
—

I went with Schoene Wochenende ticket, which literally means..Weekend ticket. Some friends were afraid to go because they feared of the rain, some were busy with their homeworks, and my last hope..she said, her monthly thing just came. But, the show must go. I was just hoping for the best.

The officer in ICE train said “you cant go to Hannover with this train!”,

“why??”,

“you have weekend ticket. You can go only with the SLOWER train. Not THIS train!”

“why?”

“you have to go down in the next station and get the SLOWER train”

“why?”

———-

anyway, i went down and caught the Metronom 😀

It was my mistake, I didnt ask before I get into the train.

From Hannover I catched the other train to Emmerthal and then from there…there is a bus number 520 direct to the Burg Polle. The weekend ticket covers everything, including the local train and the bus. I brought my own food, so I didnt spend money there. Free entrance for the castle too.

I was expecting the play of the cinderella, because it was the third sunday of the month (the website said so), but..there was no play that day. But ist gut..ist gut..

The view along the way was awesome, relaxing and..i like such kind of nature. I saw the other side of Germany.

The yellow canola made the view was simply perfect!

The weather was nice, no rainfall..the sun was shining..and people were nice. I met very kind Germans, the men and ladies. I got lost, as usual, and they were helping me. I am with my few German words. For me..the journey was most interesting.

The burg itself, well..

Berkenalan dengan Projective Geometry (Bag. 3/3)

…….lanjutan dari Bagian 2

5. Real projective plane dan Homogeneous Coordinate

Pada gambar 10, terdapat sebuah vektor (1,1) dan selain itu pada bidang tersebut terdapat pula dua buah garis paralel l1 dan l2 yang masing-masing menghubungkan dua buah point A(1,1) – B(5,5) dan C(4,1) – D(8,5).

Dengan:

didapatkan persamaan garis:

;

Persamaan garis ini memenuhi

Pada l1, koefisien a= 1, b=-1 dan c=0 sedangkan pada l2, koefisien a=1, b=-1 dan c=-3.

Untuk mempermudah, setiap garis mulai saat ini akan diidentifikasi dengan parameter (a, b, c) saja. Misalnya garis l1 = (1, -1, 0) dan l2 = (1, -1, -3).

Perhatikan bahwa sebuah konstanta non zero,  untuk vektor  merepresentasikan garis yang sama dengan (a, b, c).

Satu lagi, khusus untuk vektor (0, 0, 1) bila diinputkan ke persamaan  tidak merepresentasikan sebuah garis.

0.x + 0.y + 1 = 0 menghasilkan persamaan 1 = 0, dan ini bukan merupakan sebuah persamaan yang valid.

Gambar 10. Contoh dua buah garis paralel pada Euclidean plane pada .

Tak lupa, kedua garis parallel l1 dan l2 juga parallel dan searah dengan vektor (1,1).

—

Cukup dulu dengan intuisinya, sekarang kita tancapkan/pasangkan (duh, jadi aneh ya 😀 maksudnya ‘embedding‘) Euclidean plane  ke 3D space  dengan mengatur letaknya sesuai dengan nilai z tertentu seperti contoh berikut:

Gambar 11. Beberapa contoh memasangkan Euclidean plane  pada 3D space 

Plane  yang telah dipasangkan pada  seperti contoh pada Gambar 11 menggambarkan koordinat homogeneous pada real plane . Nilai z, disesuaikan dengan scaling factor yang dipilih pada koordinat homogeneousnya. Nilai z (asalkan z  0) tidak akan berpengaruh terhadap nilai real setiap point pada plane .

Gambar 12 kembali menekankan bahwa setiap plane yang dipasangkan sesuai dengan nilai z yang dipilih memiliki nilai koresponding pada z=1.

Misalkan

Untuk sebuah point A = (3, 4) pada plane .

• Bila plane tersebut dipasangkan pada z=1, maka point korespondingnya adalah A(3, 4, 1) dan real pointnya adalah A(3/1, 4/1) =A(3, 4).
• Bila plane tersebut dipasangkan pada z=2, maka point korespondingnya adalah A(6, 8, 2) dengan point korespondingnya pada z=1 tak lain adalah A(6/2, 8/2, 2/2) yaitu A(3, 4, 1)
• demikian seterusnya..

Hal ini berlaku untuk semua point pada plane  yang dipasangkan pada 3D space . Untuk seterusnya, saya akan menggunakan z=1 sebagai standar koordinat homogenous.

Satu lagi yang penting yaitu, semua garis yang ditarik dari setiap point pada plane tersebut, berpotongan pada koordinat center (0, 0, 0).

Gambar 12. Contoh point pada dua buah plane yang dipasangkan pada sebuah 3D space.

Gambar 13. Contoh garis yang didapatkan dari dua buah point

Garis pada plane  (perhatikan garis berwarna hijau

Berkenalan dengan Projective Geometry (Bag. 2/3)

…….lanjutan dari Bagian 1.

3. Extended Euclidean Space

Perhatikan gambar rel kereta api pada gambar berikut:

Gambar 5. Rel Kereta Api

(File gambar rel kereta api dikopi dari sini)

Dari axiom Euclid, Hilbert dan juga ilmuwan lain tentang garis paralel sepertinya tidak mampu mencakup fenomena seperti yang tampak pada Gambar 5. Pada contoh di atas, kedua garis vertikal sebenarnya adalah dua buah garis paralel pembatas rel kereta api yang tampak bertemu pada sebuah titik di horison.

Sesuai dengan axiom yang telah saya bahas sebelumnya, dua buah garis parallel tidak pernah bertemu. Inilah dasar pengembangan Euclidean Space, menjadi Extended Euclidean Space (EES) yang saya simbolkan di sini dengan .

Gambar 6. Extended Euclidean Plane

Pada gambar 6, setiap kelompok garis parallel pada Euclidean plane, , di-extend (perpanjang) hingga semua garis parallel pada kelompok tersebut bertemu pada sebuah point pada space tak hingga (mulai sekarang saya sebut ‘point at infinity‘), yaitu point  dan .

Point at infinity disebut sebagai ‘Ideal Point‘.

Jadi:

• Garis a parallel dengan b, dan parallel dengan c  bertemu pada point at infinity, .
• Garif p parallel dengan q bertemu pada sebuah point at infinity, .
• P adalah sebuah point pada Euclidean plane , yang merupakan perpotongan antara dua buah garis yang juga berada pada plane  yaitu p dan b.

Point at infinity kemudian diilustrasikan seperti pada gambar 7. Bila antara point at infinity ditarik sebuah garis..maka garis ini disebut dengan garis/line at infinity, . Konsep point dan line at infinity ini adalah dasar dari Extended Euclidean Plane (EEP). Kemudian, dari set EEP terbentuklah EES. Semua operasi pada Euclidean Space berlaku juga pada EES.

Gambar 7. Extended Euclidean Plane, dengan ilustrasi point, line at infinity

4. Homogeneous Coordinate

Sebelum dilanjutkan, silahkan perhatikan lagi sistem

Singular Value Decomposition [intuisi]

Ini adalah pelengkap penjelasan SVD dari catatan saya terdahulu yang sudah disertai contoh soal dan penyelesaian.

Bagian ini saya tambahkan sebagai intuisi, untuk mengetahui alasan di balik ukuran matriks U = mxm, D = mxn, dan V = nxn.

Sebenarnya ada referensi lain yang menyebutkan bahwa ukurannya U = mxn, D = nxn, dan V = nxn (seperti dijelaskan di situsnya Wolfram). Keduanya benar, dan sama-sama menghasilkan matriks U dan V yang orthonormal dan D diagonal. Nah, dalam catatan saya ini, demi melanjutkan penjelasan sebelumnya..saya bahas ukuran pertama yang saya sebutkan di atas.

Selamat belajar!

Berkenalan dengan Projective Geometry (Bag. 1/3)

1. Euclidean Geometry

Geometry (berasal dari bahasa Yunani Kuno yaitu Geo = “Bumi” dan Metron = “Ukuran”) adalah cabang dari ilmu matematika yang berfokus pada space (ruang) baik itu bentuk, ukuran, posisi objek dan properti dari ruang. Ilmu ini diawali oleh matematikawan Euclid dengan kumpulan bukunya yang berjudul “The Elements”, yaitu buku yang ditulis dalam 13 volume yang berisikan ilmu tentang geometri (pengetahuan tentang titik, garis, sudut dan bidang). Euclid juga memperkenalkan kelima axiom-nya yang adalah dasar dari perkembangan ilmu geometri modern.

Euclid’s axioms adalah sebagai berikut:

1. [Titik dan Garis] Dua buah sembarang titik dapat dihubungkan oleh satu dan hanya satu garis lurus.
2. [Segmen Garis] Sembarang segmen sebuah garis dapat diperpanjang hingga tak hingga.
3. [Lingkaran] Untuk sembarang titik, dan garis yang terhubung padanya, dapat digambar sebuah lingkaran: dimana ttitik tersebut adalah pusatnya dan garis yang terhubung tadi adalah radiusnya.
4. [Sudut] Semua ‘right angles‘ (sudut yang terbentuk dari pertemuan dua garis tegak lurus. Misalnya, sudut 90º pada segitiga siku-siku), ukurannya sama besar.
5. [Garis Paralel] Terdapat sebuah garis lurus yang menimpa dua garis lurus lainnya dan membuat sudut interior pada sisi yang sama, besarnya adalah kurang dari dua buah right angles. Kedua buah garis lurus tersebut, jika digambarkan hingga tak hingga, hanya akan bertemu pada sudut yang besarnya kurang dari dua buah right angles.

Dengan kata lain, axiom no.5 mengandung arti dua garis dikatakan paralel jika keduanya tidak pernah saling bertemu. Tidak dijelaskan apakah jarak antara kedua garis ini selalu sama atau tidak. Akhirnya axiom no. 5 inilah yang banyak mengundang kontroversi dikemudian hari.

Dari ke 13 buku tersebut:

Buku I-IV dan VI membahas tentang bidang (plane) pada geometri, serta pembuktiannya. Pembuktian teori Phytagoras juga termasuk di dalamnya.

Buku V dan VII-X membahas tentang teori bilangan, dimana bilangan dibahas secara geometry dan direpresentasikan ke dalam segmen garis dengan berbagai ukuran panjang. Teori tentang bilangan prima, bilangan rasional dan non rasional diperkenalkan di sini. Pembuktian bilangan prima juga dibahas di sini.

Buku XI–XIII berfokus pada “solid geometry“. Misalnya membahas tentang rasio antara volume sebuah kerucut dan silinder. (nama “solid geometry” adalah nama awal untuk 3D Euclidean space).

Karena kelemahan axiom ke-5 Euclid, walau banyak matematikawan yang berusaha membuktikan kebenarannya, akhirnya muncullah David Hilbert dengan 21 jumlah axioms-nya yang dianggap lebih realistis untuk mendefinisikan Euclidean Geometry.

Pada Euclid’s axioms, misalnya juga tidak terdapat penjelasan ilmiah tentang ‘titik’. Namun, Hilbert’s axioms menjawabnya. Hilbert’s axiom terbagi atas 5 kelompok dasar, yakni: combination, order, congruence, parallels, dan continuity.  Selengkapnya bisa dilihat di sini.

Pada kelompok parallels, Hilberts menggunakan axiom dari matematikawan lain bernama Playfair yang menyatakan “Given a line and a point not on it, at most one parallel to the given line can be drawn through the point“, yang dapat diartikan: “Bila terdapat sebuah garis dan sebuah titik yang tidak berada pada garis tersebut, maka terdapat paling banyak satu buah garis yang dapat digambar dari titik tadi, paralel terhadap garis yang telah tersedia.

Gambar 1, memperlihatkan axiom Playfair tentang paralelitas.

2. Euclidean Space

Titik, garis dan plane (yang didefinisikan pada Euclidean geometry dengan axioms) adalah elemen dasar dari Euclidean space (ruang). Elemen lain yang lebih kompleks misalnya: curves, surfaces dan solids. Elemen-elemen kompleks ini dibuat berdasarkan elemen dasar yang telah disebutkan sebelumnya.

Untuk merepresentasikan elemen dasar  dari Euclidean space, pada umumnya digunakan sistem koordinat Kartesius. Sistem koordinat lainnya dapat dilihat di sini.

Pada setiap dimensi hanya terdapat satu Euclidean space.

Jaje Sumping

Resep Jaje Sumping Biu/Waluh:

300 gr tepung beras

80 gr tepung kanji

1 sachet vanili bubuk

1 sdt garam

75 gr gula pasir

Campur mekejang bahane, trus campurin aji yeh 3/4 liter + 1/2 sachet santan bubuk (atau dadi masih langsung 3/4 liter santen).

Aduk-aduk bahane mekejang di kompore, tapi apine ane cenik gen pang sing puun. Terus gen aduk sampe telah yehne. Men suba telah..matiang kompore..terus aduk. Dinginang.

Suud to, siapin biu ane wayah.. biu dang saba paling enake. Atau waluh megobed. Men nganggo waluh..campurin trus adonan tepunge aji waluh, aduk. Men nganggo biu, pas kal ngaput..isinin biu.

Kukus kira-kira 30-45 menit.

Dijamin enak maknyus.

Piringku

(It’s my only plate that I purchased in year 2000, when I just started my studies to get the Bachelor degree. Back to Bali, then accompanied me in India for 2 years during my Master..and now it is in Germany with me 😀 )

Piringku.
Kubeli di Yogyakarta, pada tahun 2000.
Seharga enam ribu rupiah.
Satu-satunya piring yang menemaniku hingga aku mendapatkan gelar sarjana.

Piringku.
Kemudian 3 kali sehari, 7 hari dalam seminggu, beras India menyentuhnya selama 2 tahun itu.
Sebulan sekali, menu vegetarian harianku ditambahkan dengan potongan daging ayam. Tak pernah sekalipun piringku mengeluh.
Terkadang ikan pun tidur dengan nyaman padanya. Kira-kira 2 bulan sekali.

Piringku.
Walau telah tampak tua dan kumuh..kini, hamburger-pun masih tampak serasi dengannya. Udara musim dingin tak melemahkannya.

Oh, piringku.
13 tahun sudah perjalanan ini kita lalui bersama.
Mulai dari cerita oseng, pecel, gudeg, japathi, paratha, sampai cerita kita dengan hamburger.

Bertahanlah.

😉

Woke up in Holland (Intro of 3)

Dreams do really come true. But sometimes I need to accept that reality doesn’t come as beautiful as the dream. The wind were too strong, the tulips were almost gone, and no windmill nearby. The dress? ma’am..please.. #poker face#
—
Anyway..it was a beautiful dream, brought me all the way from Bali to Holland.
It’s all worth it.

No dream is ever too Big.

So here is the story:

I had this dream.

If Holland was a man, I would like to say ‘Hi, we need to talk’.

The search of the tulips were..fenomenal (for me).

I will start my story from

Woke up in Holland (Part 3 of 3)

Woke up in Holland (Part 2 of 3)

I was among 800K people on the Queens day at the Dam Platz, witnessing the innaguration of the new King of Holland, Willem Alexander!

At the beginning, a night before…the family where I stayed during my trip, they didn’t allow me to go to Amsterdam to see the celebration. They feared of the Bomb (because of the Boston bomb that just happened recently). But, I insisted to go..then they said OK. Everything was fine, the celebration was awesome! People went crazy! The country turned to orange color! 😀

Woke up in Holland (Part 1 of 3)

My very first time in Holland.

Holland

Persamaan Bidang

Sebenarnya terasa janggal menyebutkan ‘bidang’ dari bahasa inggrisnya ‘plane’. Namun apadaya..kebanyakan literatur berbahasa Indonesia menerjemahkannya menjadi ‘bidang’, jadi saya ikuti saja.. 🙂

Berikut ini adalah catatan saya mengenai persamaan bidang dengan menggunakan vektor normalnya. Catatannya hanya 2 halaman saja, gak banyak kok! ^_^

Untuk mendapatkan intuisi tentang vektor, bisa dicek di catatan saya di sini.

Selamat belajar dan semoga catatan ini membantu siapa saja yang membutuhkan.

What doesn’t kill you makes you stronger

Is that true? Well maybe sometimes, depends on the case and the situation.

I am now talking about the weather. My weather struggles. I have some posts about my struggle..and now, while typing this…the sunshine touches my skin thru the window.

Please don’t get me wrong, I have posted stories about my weather struggles..not because I was regreting..or I was hating or something like that..no..it wasn’t like that. It’s the opposite. I kinda liking it, liking the challenge! 😉

The struggles made me stronger, anyway. I’m sure it stretches my body limit.

I have learned to know my body more than before. I have learned how to choose carefully what I eat. Everytime I walk down the street..I can feel the differences, I appreciate things more nowadays . The sun. The leaves. The flowers. The birds. The blue sky. The stars. The air. Everything.

I hope for the next time Winter, I ll be more aware of the health issues and I ll be more ready than before.

I like challenges. My life is my adventure.

Apakah Vektor?

Vektor, yang secara geometri digambarkan dengan sebuah tanda panah, adalah suatu elemen yang memiliki dua properti: besaran (magnitude) dan arah (direction).

Gambar 1. Properti sebuah vektor

Vektor biasa diberi nama dengan menggunakan sebuah huruf, misalnya A. Untuk membedakan antara penamaan bilangan skalar biasa dengan vektor, maka di atas huruf tersebut diberikan tanda panah, .  Beberapa contoh pada gambar 2, menjelaskan vektor lengkap dengan besarannya. Dalam hal ini, besarannya saya hitung berdasarkan jumlah kotak yang dilalui vektor tersebut dari titik pangkal hingga ujung. Untuk mempermudah, lihat dari pangkal vektor tersebut, kemudian perhatikan arah tanda panah ke empat arah: kiri, kanan, atas, bawah.

 memiliki besaran: 0 satuan ke arah kiri, 4 satuan ke arah kanan, 3 satuan ke arah atas, 0 satuan ke arah bawah.

 memiliki besaran: 3 satuan ke arah kiri, 0 satuan ke arah kanan, 5 satuan ke arah atas, 0 satuan ke arah bawah.

 memiliki besaran: 6 satuan ke arah kiri, 0 satuan ke arah kanan, 0 satuan ke arah atas, 0 satuan ke arah bawah.

 memiliki besaran: 0 satuan ke arah kiri, 0 satuan ke arah kanan, 5 satuan ke arah atas, 0 satuan ke arah bawah.

Gambar 2. Beberapa vektor lengkap dengan arah dan besarannya.

Representasi vektor pada koordinat sistem Kartesius 2 dimensi dapat dilihat pada gambar 3. Sesuai dengan sumbu koordinat x dan y, pada representasi ini vektor tidak lagi dihitung menggunakan arah kiri, kanan, atas dan bawah. Melainkan dengan melihat perubahan ke arah x negatif dan positif, dan perubahan pada arah y negatif dan positif. Perhatikan dua vektor  dan  pada gambar 3.

Gambar 3. Vektor pada sistem koordinat Kartesius

 dimulai dari pangkal dengan koordinat b(0,0) dan berakhir pada koordinat a(-5,4). Besaran  pada contoh ini adalah (-5, 4). Angka -5 menyatakan pergerakan ke arah x negatif. Sedangkan dimulai pada c(2,3) dan berakhir pada d(10,7) yang artinya besaran = (8,4).

Kemudian, besaran vektor-vektor yang terdapat pada gambar 4 adalah: = (5, 5), = (-3, 3), = (-8, 3), = (0, -5) dan = (5, 0).

Gambar 4. Beberapa contoh vektor pada sistem koordinat Kartesius

*) Catatan: yang terpenting dari vektor adalah arah dan besarannya. Titik awal dan akhir tidak berpengaruh, asalkan vektor tersebut memiliki besaran yang sama.

PENJUMLAHAN VEKTOR

Untuk melakukan penjumlahan terhadap dua buah vektor, dapat dilakukan dengan menjumlahkan tiap bagian besarannya. Pada gambar 5a, = (3,3) dan = (3,0), dari hasil penjumlahan tiap bagian besarannya didapatkan sebuah vektor  = (3+3, 3+0) = (6,0). Tiap vektor dapat diletakkan di mana saja, karena dalam hal ini yang paling berpelan adalah besarannya. Ilustrasi dari penjumlahan ini dapat dilihat pada gambar 5b, dengan  = (6, 0).

Untuk mempermudah imajinasi, representasi lain dari vektor yang sama dengan gambar 5a, dapat dilihat pada gambar 5c dan 5d.

Pada 5c, penjumlahan dimulai dari koordinat awal , kemudian dilanjutkan dengan menambahkan  pada ujung . Ujung tanda panah pada  adalah posisi hasil penjumlahan kedua vektor tersebut. Nah, vektor hasil  ini dikonstruksi dari pangkal  dan berakhir di . Hal yang sama berlaku untuk gambar 5d, hanya saja koordinat awal (pangkal)  dimulai dari pusat koordinat (0,0).

Gambar 5b, 5c dan 5d menghasilkan output